邊緣

邊緣(edge)是指圖像局部強(qiáng)度變化最顯著的部分。主要存在于目標(biāo)與目標(biāo)、目標(biāo)與背景、區(qū)域與區(qū)域(包括不同色彩)之間，是圖像分割、紋理特征和形狀特征等圖像分析的重要基礎(chǔ)。

圖像梯度特征的常用算子：Sobel、Prewitt、Roberts

一階導(dǎo)數(shù)法：梯度算子

對(duì)于左圖，左側(cè)的邊是正的（由暗到亮），右側(cè)的邊是負(fù)的（由亮到暗）。對(duì)于右圖，結(jié)論相反。常數(shù)部分為零。用來(lái)檢測(cè)邊是否存在。

二階微分法：拉普拉斯

二階微分在亮的一邊是負(fù)的，在暗的一邊是正的。常數(shù)部分為零。可以用來(lái)確定邊的準(zhǔn)確位置，以及像素在亮的一側(cè)還是暗的一側(cè)。

拉普拉斯對(duì)噪聲敏感，會(huì)產(chǎn)生雙邊效果。不能檢測(cè)出邊的方向。通常不直接用于邊的檢測(cè)，只起輔助的角色，檢測(cè)一個(gè)像素是在邊的亮的一邊還是暗的一邊利用零跨越，確定邊的位置。

索貝爾算子（Sobel operator）

索貝爾算子（Sobel operator）主要用作邊緣檢測(cè)，在技術(shù)上，它是一離散性差分算子，用來(lái)運(yùn)算圖像亮度函數(shù)的灰度之近似值。在圖像的任何一點(diǎn)使用此算子，將會(huì)產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的灰度矢量或是其法矢量。

Sobel卷積因子為：

該算子包含兩組3x3的矩陣，分別為橫向及縱向，將之與圖像作平面卷積，即可分別得出橫向及縱向的亮度差分近似值。如果以A代表原始圖像，Gx及Gy分別代表經(jīng)橫向及縱向邊緣檢測(cè)的圖像灰度值，其公式如下：

具體計(jì)算如下：

Gx = (-1)*f(x-1,y-1) + 0*f(x,y-1) + 1*f(x+1,y-1)

     +(-2)*f(x-1,y) + 0*f(x,y)+2*f(x+1,y)

     +(-1)*f(x-1,y+1) + 0*f(x,y+1) + 1*f(x+1,y+1)

=[f(x+1,y-1)+2*f(x+1,y)+f(x+1,y+1)]-[f(x-1,y-1)+2*f(x-1,y)+f(x-1,y+1)]

Gy =1* f(x-1, y-1)+ 2*f(x,y-1)+ 1*f(x+1,y-1)

     +0*f(x-1,y) 0*f(x,y) + 0*f(x+1,y)

     +(-1)*f(x-1,y+1) + (-2)*f(x,y+1) + (-1)*f(x+1, y+1)

= [f(x-1,y-1) +2f(x,y-1) + f(x+1,y-1)]-[f(x-1, y+1) + 2*f(x,y+1)+f(x+1,y+1)]

其中f(a,b), 表示圖像(a,b)點(diǎn)的灰度值；

圖像的每一個(gè)像素的橫向及縱向灰度值通過(guò)以下公式結(jié)合，來(lái)計(jì)算該點(diǎn)灰度的大?。?/p>

通常，為了提高效率 使用不開(kāi)平方的近似值：

如果梯度G大于某一閥值 則認(rèn)為該點(diǎn)(x,y)為邊緣點(diǎn)。

然后可用以下公式計(jì)算梯度方向： 

Sobel算子根據(jù)像素點(diǎn)上下、左右鄰點(diǎn)灰度加權(quán)差，在邊緣處達(dá)到極值這一現(xiàn)象檢測(cè)邊緣。對(duì)噪聲具有平滑作用，提供較為精確的邊緣方向信息，邊緣定位精度不夠高。當(dāng)對(duì)精度要求不是很高時(shí)，是一種較為常用的邊緣檢測(cè)方法?！?nbsp;

普利維特算子(Prewitt operate)： 

除sobel邊緣檢測(cè)外 還有Prewitt算子， 它的卷積因子如下：

其他計(jì)算 和sobel差不多；

Prewitt算子利用像素點(diǎn)上下、左右鄰點(diǎn)灰度差，在邊緣處達(dá)到極值檢測(cè)邊緣。對(duì)噪聲具有平滑作用，定位精度不夠高。

羅伯茨交叉邊緣檢測(cè)（Roberts Cross operator）

卷積因子如下：

灰度公式為：

近似公式為：

具體計(jì)算如下：

G(x,y)=abs(f(x,y)-f(x+1,y+1))+abs(f(x,y+1)-f(x+1,y)) 

灰度方向 計(jì)算公式為：

Roberts算子采用對(duì)角線(xiàn)方向相鄰兩像素之差近似梯度幅值檢測(cè)邊緣。檢測(cè)水平和垂直邊緣的效果好于斜向邊緣，定位精度高，對(duì)噪聲敏感。